2 Poles multimode filter

Riprendo con questo articolo una pubblicazione di Electronotes, la AN71. Non vuole però essere solo una traduzione ma un tentativo di spiegare in modo un po’ semplice come passare da una singola cella a un sistema a due poli, e da questo con pochi accorgimenti avere le funzioni di passa-basso, passa-alto, passa-banda e notch, insomma un multimode filter.

Cella del primo ordine

Per definizione è composta da una RC, occorre però che non sia suscettibile ad eventuali carichi quindi è necessario utilizzare un amplificatore operazionale:

Se si considerano le due resistenze uguali si ha una funzione di trasferimento:

G_{\left ( s \right )}=\frac{-1}{sRC+1}Mettendo due di queste celle in cascata si otterrà una funzione del secondo ordine, se le due celle hanno gli stessi valori di R e C la funzione di trasferimento è:

G_{\left ( s \right )}=\frac{1}{s^{2}R^{2}C^{2}+2sRC+1}

Un filtro passa-basso del secondo ordine.

Passaggio a multimode

Per potere arrivare ad avere la possibilità di scegliere quale funzione usare, occorre che la funzione di trasferimento abbia al numeratore un polinomio del grado presente al denominatore.

Per semplificare le cose si assume che RC=1, lacosa più semplice per ottenere al numeratore un polinomio, e quella di eseguire una somma dei singoli elementi che costituiscono il sistema, cioè visto graficamente:

Dove a, b e c rappresentano il peso che viene dato ad ogni termine da sommare, in pratica quanto deve essere amplificato ogni ramo. Vedendola come una funzione di trasferimento:

V_{o}=aV_{i}-\frac{bV_{i}}{s+1}+\frac{cV_{i}}{\left ( s+1 \right )^{2}}

Raccogliendo Visi ottiene:

\frac{V_{o}}{V_{i}}=a-\frac{b}{s+1}+\frac{c}{\left ( s+1 \right )^{2}}

La funzione di trasferimento può essere riscritta:

G_{\left ( s \right )}=\frac{as^{2}+\left ( 2a-b \right )s+\left ( a-b+c \right )}{s^{2}+2s+1}

Ora basta tenere a mente che, lasciando inalterato il denominatore:

Funzione passa-basso:

La funzione di trasferimento è:

G_{\left ( s \right )}=\frac{1}{s^{2}+2s+1}

Quindi occorre che al numeratore scompaia completamente la variabile s che, come si vede, è associata ai termini a e b, quindi mettendoli a 0:

G_{\left ( s \right )}=\frac{0s^{2}+\left ( 2\cdot 0-0 \right )s+\left ( 0-0+c \right )}{s^{2}+2s+1}=\frac{c}{s^{2}+2s+1}

Ovviamente il guadagno c viene considerato 1. Vedendolo come circuito:

La risposta in frequenza:

Funzione passa-alto:

La funzione di trasferimento:

G_{\left ( s \right )}=\frac{s^{2}}{s^{2}+2s+1}

Quindi occorre isolare s^2, quindi se si impone a=1 ne deriva che mettendo b=2 e c=1:

G_{\left ( s \right )}=\frac{1\cdot s^{2}+\left ( 2-2 \right )s+\left ( 1-2+1 \right )}{s^{2}+2s+1}=\frac{s^{2}}{s^{2}+2s+1}

Quindi il circuito:

Occorre notare che il termine b è di per se un valore negato, quindi viene già tenuto conto del segno. In pratica i valori sono Ra=1k Rb=500Ω Rc=1k. La risposta:

Funzione passa-banda:

La funzione di trasferimento:

G(s)=\frac{s}{s^{2}+s+1}

Ovviamente s^2 deve essere annullato per cui a=0, s invece deve essere mantenuto e dato che 2a=0 allora b=1, nell’ ultima somma a=0 b=-1  per annullare il tutto occorre mettere c=1:

G(s)=\frac{0\cdot s^{2}+( 0-1)s +( 0-1+1)}{s^{2}+2s+1}=\frac{-s}{s^{2}+2s+1}

Lo schema:

La risposta:

Funzione notch: 

La funzione di trasferimento:

G_{\left ( s \right )}=\frac{s^{2}+1}{s^{2}+2s+1}

Qui s^2 deve essere presente per cui a=1, la seconda somma deve essere uguale a 0 per cui se a=1 b=-2, la terza somma deve dare 1 quindi se a=1 b=-2 allora c=2:

G_{\left ( s \right )}=\frac{1\cdot s^{2}+\left ( 2\cdot 1-2 \right )s+\left ( 1-2+2 \right )}{s^{2}+2s+1}=\frac{s^{2}+1}{s^{2}+2s+1}

Nell’ esempio proposto Ra=1k, Rb=500Ω e Rc=500Ω:

La risposta in frequenza:

Conclusioni

Non è che da un punto di vista musicale questa soluzione trovi poi molte applicazioni, anche perchè non è possibile regolare in modo semplice la risonanza del circuito.

La sua possibile utilità la si trova se si aumenta il numero di celle, e quindi l’ ordine del sistema., anche perchè in questo caso è possibile intervenire sulla risonanza.

Rimane comunque interessante vedere come è possibile combinare due celle passa-basso per ottenere altre configurazioni.